不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解きます。

$3(x-1) < 2(x+a)$ を展開すると、

$3x - 3 < 2x + 2a$

$x < 2a + 3$

この不等式を満たす最大の整数が3であることから、次の2つの条件が成り立ちます。

(1) $x=3$ は不等式を満たす。つまり、$3 < 2a + 3$。

(2) $x=4$ は不等式を満たさない。つまり、$4 \ge 2a + 3$。

まず、$3 < 2a + 3$ を解くと、

$0 < 2a$

$0 < a$

次に、$4 \ge 2a + 3$ を解くと、

$1 \ge 2a$

$a \le \frac{1}{2}$

したがって、$0 < a \le \frac{1}{2}$ が求める $a$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$