数列 $2 \cdot 3, 4 \cdot 5, 6 \cdot 7, \dots, 2n(2n+1)$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $2 \cdot 3, 4 \cdot 5, 6 \cdot 7, \dots, 2n(2n+1)$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、

$a_k = 2k(2k+1)$

となります。したがって、求める和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2k(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 2k)$

となります。和の記号を分解すると、

$S_n = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$S_n = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} + n(n+1)$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{3}$

$= \frac{n(n+1)[2(2n+1) + 3]}{3}$

$= \frac{n(n+1)(4n+2+3)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(4n+5)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n+5)}{3}$