以下の3つの2次関数の式を求める問題です。 (1) 原点と点(1,2)を通る、$y=ax^2 + bx$ の形の関数 (2) 2点(1,4)と(3,36)を通る2次関数 (3) 頂点が(2,3)である2次関数

1. 問題の内容

以下の3つの2次関数の式を求める問題です。

(1) 原点と点(1,2)を通る、$y=ax^2 + bx$ の形の関数

(2) 2点(1,4)と(3,36)を通る2次関数

(3) 頂点が(2,3)である2次関数

2. 解き方の手順

(1) $y=ax^2 + bx$ の形の関数が原点(0,0)と点(1,2)を通るので、それぞれの点を代入します。

原点(0,0)を通る場合：

$0 = a(0)^2 + b(0)$

$0 = 0$

これは常に成り立つので、原点を通ることは式に影響を与えません。

点(1,2)を通る場合：

$2 = a(1)^2 + b(1)$

$2 = a + b$

$b = 2 - a$

これを元の式に代入すると、$y=ax^2 + (2-a)x$ となります。

しかし、これ以上aを決定する情報がないため、$b=2-a$の関係を満たせば、$a$は任意の実数になるので、

$a+b=2$となる関数は無数に存在します。

例えば、$a=1$ならば$y=x^2 + x$となり、$a=2$ならば$y=2x^2$となり、原点と(1,2)を通ります。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とします。点(1,4)と点(3,36)を通るので、

$4 = a(1)^2 + b(1) + c$

$36 = a(3)^2 + b(3) + c$

つまり、

$a + b + c = 4$ (1)

$9a + 3b + c = 36$ (2)

(2) - (1)より、

$8a + 2b = 32$

$4a + b = 16$

$b = 16 - 4a$

(1)に代入すると、

$a + (16 - 4a) + c = 4$

$-3a + c = -12$

$c = 3a - 12$

したがって、$y = ax^2 + (16 - 4a)x + (3a - 12)$ となります。

$a$の値によって2次関数が変わってしまいますが、ここでは$a$を決定する追加の条件がないため、$a$の値は任意の実数になります。

例えば、$a=4$のとき、$y=4x^2 + 0x + 0 = 4x^2$となり、これは(1,4)と(3,36)を通ります。

(3) 頂点が(2,3)である2次関数は、

$y = a(x - 2)^2 + 3$

の形で表されます。ここで、$a$は0でない実数です。

3. 最終的な答え

(1) $y=ax^2 + (2-a)x$ ($a$は任意の実数)

(2) $y=ax^2 + (16 - 4a)x + (3a - 12)$ ($a$は任意の実数)

(3) $y = a(x - 2)^2 + 3$ ($a$は0でない実数)