与えられた整式や多項式について、次数や定数項を求めたり、割り算の結果を求めたり、最大公約数や最小公倍数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた整式や多項式について、次数や定数項を求めたり、割り算の結果を求めたり、最大公約数や最小公倍数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 整式 $x^2 - 2xy^2 + y^3 - 3y + 1$ について

* 文字 $x$ に着目したとき、次数は $x$ の最高次数なので 2 、定数項は $x$ を含まない項なので $y^3 - 3y + 1$。

* 文字 $y$ に着目したとき、次数は $y$ の最高次数なので 3 、定数項は $x^2 + 1$。

(2) 整式 $A = x^3 + 8x - 6$ , $B = x^2 + x + 1$ について

* $A$ を $B$ で割る。

$A = (x^2+x+1)(x-1) + (8x-6) - (x^2 + x + 1)(x-1) = x^3 + x^2 + x +x- x^2 -x -1$ なので,

$A = (x-1)B + 8x-6 - (x-1+x^2+x) - (-x+x+1)$

商は $x-1$ であり、余りは $8x-6 - ((x^3 + 8x - 6)-(x-1)*(x^2+x+1))$である

$x^3+8x-6 = (x-1)(x^2+x+1)+9x-5$

つまり$A = (x-1)B + 9x-5$。

* 等式で表すと $A = (x-1)B + 9x - 5$。

(3) 整式 $A$ を $x^2+1$ で割ったときの商が $x^2+2x-3$ で、余りが $x+1$ であるとき

* $A = (x^2+1)(x^2+2x-3) + x + 1$

$A = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x^2 + 2x - 3 + x + 1$

$A = x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 3x - 2$

(4) 整式の組 $12a^2b^3c^2$, $80a^3bc$ について

* 最大公約数：12 と 80 の最大公約数は 4。$a$, $b$, $c$ の最小次数の積は $a^2bc$。

最大公約数は $4a^2bc$。

* 最小公倍数：12 と 80 の最小公倍数は 240。$a$, $b$, $c$ の最大次数の積は $a^3b^3c^2$。

最小公倍数は $240a^3b^3c^2$。

(5) 整式の組 $(x-1)^2(x+2)$, $x^2(x-1)^3$ について

* 最大公約数：共通因数 $(x-1)$ の最小次数は 2。

最大公約数は $(x-1)^2$。

* 最小公倍数：すべての因数について、最大次数をとる。

最小公倍数は $x^2(x-1)^3(x+2)$。

(6) 分数式 $\frac{6x^2-7x+5}{2x-3}$ を「整式+分数式」の形で表す。

分子を分母で割る。

$6x^2-7x+5 = (2x-3)(3x+1) + 8$

$\frac{6x^2-7x+5}{2x-3} = \frac{(2x-3)(3x+1) + 8}{2x-3} = 3x+1 + \frac{8}{2x-3}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: $y^3 - 3y + 1$

ウ: 3

エ: $x^2 + 1$

オ: $x - 1$

カ: $9x - 5$

キ: $(x-1)B + 9x - 5$

ク: $x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 3x - 2$

ケ: $4a^2bc$

コ: $240a^3b^3c^2$

サ: $(x-1)^2$

シ: $x^2(x-1)^3(x+2)$

ス: $3x+1$

セ: $\frac{8}{2x-3}$