与えられた4つの行列式を、定義（組合せ乗積を用いた）に従って計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式を、定義（組合せ乗積を用いた）に従って計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{vmatrix} = (1 \times 1) - (1 \times 0) = 1 - 0 = 1

$$

(2) 2x2行列

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 \\

1 & 1

\end{vmatrix} = (1 \times 1) - (1 \times 1) = 1 - 1 = 0

$$

(3) 3x3行列

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 0 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 + (0 \times 1 - 1 \times 1) = -1

$$

(4) n次行列

この行列は、下三角行列で、対角成分が全て1であるので、行列式は1となります。

あるいは、余因子展開を用いて計算することもできます。第1行で余因子展開すると、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\

1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\

0 & 1 & 1 & \dots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \dots & 1

\end{vmatrix}

= 1 \times \begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\

1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\

0 & 1 & 1 & \dots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \dots & 1

\end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)}

$$

となり、同様の構造の(n-1)次行列になります。これを繰り返すと最終的に、1x1行列 $[1]$ となり、行列式は1です。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) -1

(4) 1