$(1 + x + x^2)^{10}$ の $x^{16}$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(1 + x + x^2)^{10}$ の $x^{16}$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$(1 + x + x^2)^{10}$ の展開における一般項は、多項定理を用いて

$$\frac{10!}{p!q!r!} 1^p x^q (x^2)^r = \frac{10!}{p!q!r!} x^{q+2r}$$

と表せます。ここで、 $p, q, r$ は非負の整数で、 $p+q+r = 10$ を満たします。

$x^{16}$ の係数を求めたいので、$q+2r = 16$ を満たす $p, q, r$ を探します。

また、$p+q+r = 10$ であることから、$q = 16 - 2r$ を代入すると、$p + (16 - 2r) + r = 10$ となり、$p - r = -6$、すなわち $r = p + 6$ が得られます。

$p, q, r \geq 0$ であることから、$r = p + 6 \leq 10$ より、$p \leq 4$ がわかります。

したがって、$p = 0, 1, 2, 3, 4$ について、$r = p + 6$ を求め、さらに $q = 10 - p - r$ を計算します。

- $p = 0$ のとき、$r = 6$、$q = 10 - 0 - 6 = 4$。このときの係数は $\frac{10!}{0!4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

- $p = 1$ のとき、$r = 7$、$q = 10 - 1 - 7 = 2$。このときの係数は $\frac{10!}{1!2!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 360$

- $p = 2$ のとき、$r = 8$、$q = 10 - 2 - 8 = 0$。このときの係数は $\frac{10!}{2!0!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

- $p = 3$ のとき、$r = 9$、$q = 10 - 3 - 9 = -2$。$q \geq 0$ の条件を満たさないので、不適。

- $p = 4$ のとき、$r = 10$、$q = 10 - 4 - 10 = -4$。$q \geq 0$ の条件を満たさないので、不適。

よって、$x^{16}$ の係数は $210 + 360 + 45 = 615$ となります。

3. 最終的な答え

615