与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

\begin{align*}

(x^2 - bx)(x+2) + 6x + c &= x^3 + 2x^2 - bx^2 - 2bx + 6x + c \\

&= x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c

\end{align*}

したがって、与えられた等式は

$$x^3 + ax - 1 = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$$

となります。

これが $x$ についての恒等式であるためには、両辺の各次数の項の係数が等しくなければなりません。

すなわち、

\begin{align*}

x^2 \text{の係数: }& 0 = 2 - b \\

x \text{の係数: }& a = 6 - 2b \\

\text{定数項: }& -1 = c

\end{align*}

これらの連立方程式を解きます。

まず、1つ目の式から $b = 2$ が得られます。

次に、2つ目の式に $b = 2$ を代入すると、$a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$ となります。

最後に、3つ目の式から $c = -1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2$

$c = -1$