問題1は、2つの放物線 $y = -x^2 + 3x - 2k$ と $y = x^2 + 2kx + 4k$ について、2つ目の放物線がx軸と接するときのkの値と、x軸がどちらの放物線とも共有点を持たないようなkの値の範囲を求める問題です。問題2は、2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフがx軸とは共有点を持つが、直線 $y = 4x - 5$ とは共有点を持たないとき、aの値の範囲と、2次関数の最小値mのとりうる値の範囲を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1は、2つの放物線 $y = -x^2 + 3x - 2k$ と $y = x^2 + 2kx + 4k$ について、2つ目の放物線がx軸と接するときのkの値と、x軸がどちらの放物線とも共有点を持たないようなkの値の範囲を求める問題です。問題2は、2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフがx軸とは共有点を持つが、直線 $y = 4x - 5$ とは共有点を持たないとき、aの値の範囲と、2次関数の最小値mのとりうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

C2がx軸と接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (2k)^2 - 4(1)(4k) = 4k^2 - 16k = 0$

$4k(k - 4) = 0$

$k = 0, 4$

$k$ は正の定数なので、$k = 4$

次に、x軸がC1とC2のどちらとも共有点を持たない条件を考えます。

C1: $y = -x^2 + 3x - 2k$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 2k$

C2: $y = x^2 + 2kx + 4k$

$y = (x + k)^2 - k^2 + 4k$

x軸と共有点を持たない条件は、

C1: $\frac{9}{4} - 2k < 0 \rightarrow 2k > \frac{9}{4} \rightarrow k > \frac{9}{8}$

C2: $-k^2 + 4k > 0 \rightarrow k^2 - 4k < 0 \rightarrow k(k - 4) < 0 \rightarrow 0 < k < 4$

両方を満たすのは $\frac{9}{8} < k < 4$

問題2：

(1)

$y = x^2 + ax - a + 3$ がx軸と共有点をもつ条件は、判別式 $D \ge 0$

$D = a^2 - 4(1)(-a + 3) = a^2 + 4a - 12 \ge 0$

$(a + 6)(a - 2) \ge 0$

$a \le -6, a \ge 2$

$y = x^2 + ax - a + 3$ と $y = 4x - 5$ が共有点をもたない条件は、

$x^2 + ax - a + 3 = 4x - 5$

$x^2 + (a - 4)x - a + 8 = 0$

この判別式 $D < 0$

$D = (a - 4)^2 - 4(1)(-a + 8) = a^2 - 8a + 16 + 4a - 32 = a^2 - 4a - 16 < 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = 2 \pm \sqrt{4 + 16} = 2 \pm 2\sqrt{5}$

$2 - 2\sqrt{5} < a < 2 + 2\sqrt{5}$

これらを総合的に考えると、

$2 \le a < 2 + 2\sqrt{5}$ または $2 - 2\sqrt{5} < a \le -6$

(2)

$y = x^2 + ax - a + 3 = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - a + 3$

$m = -\frac{a^2}{4} - a + 3 = -\frac{1}{4}(a^2 + 4a - 12) = -\frac{1}{4}((a + 2)^2 - 16) = -\frac{1}{4}(a + 2)^2 + 4$

(1)の結果から、$2 \le a < 2 + 2\sqrt{5}$ のとき、

$a = 2$ のとき、$m = -\frac{1}{4}(4 + 8 - 12) = -1 - 2 + 3 = 0$

$a = 2 + 2\sqrt{5}$ のとき、$m = -\frac{1}{4}(2 + 2\sqrt{5} + 2)^2 + 4 = -\frac{1}{4}(4 + 2\sqrt{5})^2 + 4 = -\frac{1}{4}(16 + 16\sqrt{5} + 20) + 4 = -4 - 4\sqrt{5} - 5 + 4 = -5 - 4\sqrt{5}$

$2 - 2\sqrt{5} < a \le -6$

$a = -6$ のとき、$m = -\frac{1}{4}(36 - 24 - 12) = 0$

$a = 2 - 2\sqrt{5}$ のとき、$m = -5 + 4\sqrt{5}$

$m$ のとりうる範囲は $m \le 0$

3. 最終的な答え

問題1：

$k = 4$

$\frac{9}{8} < k < 4$

問題2：

(1) $2 \le a < 2 + 2\sqrt{5}$ または $2 - 2\sqrt{5} < a \le -6$

(2) $m \le 0$