与えられた連立方程式を解く問題です。 $x+y=8$ $x^2+y^2=35$ $x^3+y^3=164$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。

$x+y=8$

$x^2+y^2=35$

$x^3+y^3=164$

2. 解き方の手順

まず、$x+y = 8$の両辺を2乗すると、

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 8^2 = 64$

次に、$x^2 + y^2 = 35$を代入すると、

$35 + 2xy = 64$

$2xy = 64 - 35 = 29$

$xy = \frac{29}{2}$

次に、$x^3 + y^3$を因数分解すると、

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 164$

$x+y=8$、$x^2+y^2=35$、$xy = \frac{29}{2}$を代入すると、

$8(35 - \frac{29}{2}) = 164$

$8(\frac{70-29}{2}) = 164$

$8(\frac{41}{2}) = 164$

$4(41) = 164$

$164 = 164$

これは正しいので、矛盾はありません。

$x$と$y$は、$t^2 - 8t + \frac{29}{2} = 0$の解です。

この2次方程式を解きます。

$2t^2 - 16t + 29 = 0$

$t = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(2)(29)}}{2(2)} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 232}}{4} = \frac{16 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{16 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 4 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

したがって、$x = 4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$、$y = 4 - \frac{\sqrt{6}}{2}$、または$x = 4 - \frac{\sqrt{6}}{2}$、$y = 4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 4 + \frac{\sqrt{6}}{2}, y = 4 - \frac{\sqrt{6}}{2}$または $x = 4 - \frac{\sqrt{6}}{2}, y = 4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$