集合 $X = \{1, 2, 3\}$ と写像 $f, g: X \rightarrow X$ が以下のように定義されている。 $f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3$ $g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 2$ このとき、以下のものを求める。 (1) 合成写像 $f^2 = f \circ f$ と $f \circ g$ (2) 逆写像 $f^{-1}$ と $(f \circ g)^{-1}$

1. 問題の内容

集合 $X = \{1, 2, 3\}$ と写像 $f, g: X \rightarrow X$ が以下のように定義されている。

$f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3$

$g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 2$

このとき、以下のものを求める。

(1) 合成写像 $f^2 = f \circ f$ と $f \circ g$

(2) 逆写像 $f^{-1}$ と $(f \circ g)^{-1}$

2. 解き方の手順

(1) 合成写像 $f^2$ と $f \circ g$ を求める。

$f^2(x) = f(f(x))$

$f^2(1) = f(f(1)) = f(2) = 1$

$f^2(2) = f(f(2)) = f(1) = 2$

$f^2(3) = f(f(3)) = f(3) = 3$

よって、$f^2(1) = 1, f^2(2) = 2, f^2(3) = 3$

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

$(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(1) = 2$

$(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 3$

$(f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(2) = 1$

よって、$(f \circ g)(1) = 2, (f \circ g)(2) = 3, (f \circ g)(3) = 1$

(2) 逆写像 $f^{-1}$ と $(f \circ g)^{-1}$ を求める。

$f^{-1}(x)$ について、$f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3$ より、

$f^{-1}(2) = 1, f^{-1}(1) = 2, f^{-1}(3) = 3$

よって、$f^{-1}(1) = 2, f^{-1}(2) = 1, f^{-1}(3) = 3$

$(f \circ g)^{-1}(x)$ について、$(f \circ g)(1) = 2, (f \circ g)(2) = 3, (f \circ g)(3) = 1$ より、

$(f \circ g)^{-1}(2) = 1, (f \circ g)^{-1}(3) = 2, (f \circ g)^{-1}(1) = 3$

よって、$(f \circ g)^{-1}(1) = 3, (f \circ g)^{-1}(2) = 1, (f \circ g)^{-1}(3) = 2$

3. 最終的な答え

(1)

$f^2(1) = 1, f^2(2) = 2, f^2(3) = 3$

$(f \circ g)(1) = 2, (f \circ g)(2) = 3, (f \circ g)(3) = 1$

(2)

$f^{-1}(1) = 2, f^{-1}(2) = 1, f^{-1}(3) = 3$

$(f \circ g)^{-1}(1) = 3, (f \circ g)^{-1}(2) = 1, (f \circ g)^{-1}(3) = 2$