与えられた3つの和の式をそれぞれ計算し、その結果を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

1. 問題の内容

与えられた3つの和の式をそれぞれ計算し、その結果を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1)$

まず、シグマを分配して3つの和に分けます。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k + \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 1$

等比数列の和、等差数列の和、定数の和の公式をそれぞれ適用します。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2k + 1) = \frac{3}{2}(3^n - 1) + n(n+1) + n = \frac{3}{2}(3^n - 1) + n^2 + 2n = \frac{3^{n+1}}{2} - \frac{3}{2} + n^2 + 2n = \frac{3^{n+1}}{2} + n^2 + 2n - \frac{3}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$

まず、展開してシグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k - k - 2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 - 12)}{6} = \frac{n(2n^2 + 6n - 8)}{6} = \frac{2n(n^2 + 3n - 4)}{6} = \frac{n(n+4)(n-1)}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k)$

シグマを分配します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - k) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2 - 2n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)(n(n+1) - 2)}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + n - 2)}{4} = \frac{n(n+1)(n+2)(n-1)}{4} = \frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3^{n+1}}{2} + n^2 + 2n - \frac{3}{2}$

(2) $\frac{n(n+4)(n-1)}{3}$

(3) $\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}$