行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列演算の結果を求めます。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $2A + 3B$ (4) $-A + 2B$ (5) $AB$ (6) $BA$ (7) $A^2$ (8) $ABA$ (9) $(AB)^2$ (10) $A^2 - B^2$ (11) $(A - B)(A + B)$ (12) $(A + B)(A - B)$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列演算の結果を求めます。

(1) $A + B$

(2) $A - B$

(3) $2A + 3B$

(4) $-A + 2B$

(5) $AB$

(6) $BA$

(7) $A^2$

(8) $ABA$

(9) $(AB)^2$

(10) $A^2 - B^2$

(11) $(A - B)(A + B)$

(12) $(A + B)(A - B)$

2. 解き方の手順

まず、基本的な行列の和、差、スカラー倍、積の計算方法を確認します。

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1+2 \\ 3-2 & -1+3 \end{pmatrix}$

(2) $A - B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-1) & 1-2 \\ 3-(-2) & -1-3 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B = -\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 6 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1) + 1(-2) & 2(2) + 1(3) \\ 3(-1) + (-1)(-2) & 3(2) + (-1)(3) \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1(2) + 2(3) & -1(1) + 2(-1) \\ -2(2) + 3(3) & -2(1) + 3(-1) \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(3) & 2(1) + 1(-1) \\ 3(2) + (-1)(3) & 3(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix}$

(8) $ABA = A(BA)$ なので、$BA$の結果を求めてから$A$との積を計算します。

(9) $(AB)^2 = AB \cdot AB$ なので、$AB$の結果を求めてからそれ自身の積を計算します。

(10) $A^2 - B^2$ なので、$A^2$と$B^2$をそれぞれ計算し、その差を求めます。 $B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B)$ なので、$A-B$と$A+B$をそれぞれ計算し、その積を求めます。

(12) $(A + B)(A - B)$ なので、$A+B$と$A-B$をそれぞれ計算し、その積を求めます。

計算を実行すると以下のようになります。

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2 = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $B^2 = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$. $A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A - B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A + 3B = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

(4) $-A + 2B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2 = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A - B)(A + B) = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$