与えられた3つの計算問題を解きます。 (1) 2つの行列の積を計算します。 (2) 3x3行列の行列式を計算します。 (3) 3x3行列の行列式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた3つの計算問題を解きます。

(1) 2つの行列の積を計算します。

(2) 3x3行列の行列式を計算します。

(3) 3x3行列の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積の計算

最初の行列をA、2番目の行列をBとします。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

行列の積ABは、Aの各行とBの各列の内積を取ることで計算します。

$AB = \begin{pmatrix} (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(2) & (2)(-1) + (1)(1) + (-1)(3) & (2)(3) + (1)(2) + (-1)(1) \\ (-1)(1) + (2)(-2) + (3)(2) & (-1)(-1) + (2)(1) + (3)(3) & (-1)(3) + (2)(2) + (3)(1) \\ (-2)(1) + (1)(-2) + (2)(2) & (-2)(-1) + (1)(1) + (2)(3) & (-2)(3) + (1)(2) + (2)(1) \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 2 - 2 - 2 & -2 + 1 - 3 & 6 + 2 - 1 \\ -1 - 4 + 6 & 1 + 2 + 9 & -3 + 4 + 3 \\ -2 - 2 + 4 & 2 + 1 + 6 & -6 + 2 + 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 7 \\ 1 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & -2 \end{pmatrix}$

(2) 行列式の計算

与えられた行列をCとします。

$C = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 2 & 4 & 7 \\ 8 & 3 & 9 \end{pmatrix}$

行列式|C|は以下のように計算できます。

$|C| = 6(4 \cdot 9 - 7 \cdot 3) - 1(2 \cdot 9 - 7 \cdot 8) + 5(2 \cdot 3 - 4 \cdot 8)$

$|C| = 6(36 - 21) - (18 - 56) + 5(6 - 32)$

$|C| = 6(15) - (-38) + 5(-26)$

$|C| = 90 + 38 - 130$

$|C| = 128 - 130 = -2$

(3) 行列式の計算

与えられた行列をDとします。

$D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$

行列式|D|は以下のように計算できます。これはヴァンデルモンドの行列式として知られています。

$|D| = (b-a)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -2 & -4 & 7 \\ 1 & 12 & 4 \\ 0 & 9 & -2 \end{pmatrix}$

(2) -2

(3) $(b-a)(c-a)(c-b)$