問題は、$\log_{10}2 = 0.3010$ を与えられた条件として、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $2^{345}$ は何桁の整数か。 (2) $(0.2)^{345}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

1. 問題の内容

問題は、$\log_{10}2 = 0.3010$ を与えられた条件として、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $2^{345}$ は何桁の整数か。

(2) $(0.2)^{345}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

2. 解き方の手順

(1) $2^{345}$ の桁数を求める。

まず、$2^{345}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}(2^{345}) = 345 \log_{10}2$

$\log_{10}(2^{345}) = 345 \times 0.3010$

$\log_{10}(2^{345}) = 103.845$

$2^{345}$ の桁数は、$\log_{10}(2^{345})$ の整数部分に1を加えたものです。

$103 + 1 = 104$

したがって、$2^{345}$ は104桁の整数である。

(2) $(0.2)^{345}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

まず、$0.2$ を $\frac{1}{5}$ と表す。

$(0.2)^{345} = (\frac{1}{5})^{345}$

次に、常用対数を計算する。

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 \log_{10}(\frac{1}{5})$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 (\log_{10}1 - \log_{10}5)$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 (0 - \log_{10}\frac{10}{2})$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 (0 - (\log_{10}10 - \log_{10}2))$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 (0 - (1 - 0.3010))$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = 345 (-0.6990)$

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = -241.155$

小数第n位に初めて0でない数字が現れるとき、$\log_{10}$ の値は $-(n)$ から $-(n-1)$ の間にあります。

$\log_{10}((\frac{1}{5})^{345}) = -241.155$ より、$n = 242$ となります。

したがって、小数第242位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 104桁

(2) 小数第242位