次の5つの式を因数分解します。 (1) $x^2 - xy - x + y$ (2) $x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$ (3) $xy + 1 + x + y$ (4) $x^2y + y^2z + x^2z + y^3$ (5) $1 - x - x^2 + x^3$

1. 問題の内容

次の5つの式を因数分解します。

(1) $x^2 - xy - x + y$

(2) $x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$

(3) $xy + 1 + x + y$

(4) $x^2y + y^2z + x^2z + y^3$

(5) $1 - x - x^2 + x^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - xy - x + y$ を因数分解します。

$x$で最初の2項をくくり、$x(x-y)$とし、残りの2項から$-1$をくくり、$-1(x-y)$とします。

$(x-y)$を共通因数としてくくります。

$x^2 - xy - x + y = x(x-y) - (x-y) = (x-1)(x-y)$

(2) $x^3 + x^2y - xy^2 - y^3$ を因数分解します。

最初の2項を$x^2$でくくり、$x^2(x+y)$とし、残りの2項から$-y^2$をくくり、$-y^2(x+y)$とします。

$(x+y)$を共通因数としてくくります。

$x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = x^2(x+y) - y^2(x+y) = (x^2 - y^2)(x+y)$

さらに、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

よって、$x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$

(3) $xy + 1 + x + y$ を因数分解します。

$xy + x + y + 1$と並び替え、最初の2項を$x$でくくり、$x(y+1)$とし、残りの2項をそのままにします。

$(y+1)$を共通因数としてくくります。

$xy + 1 + x + y = x(y+1) + (y+1) = (x+1)(y+1)$

(4) $x^2y + y^2z + x^2z + y^3$ を因数分解します。

$x^2y + x^2z + y^2z + y^3$と並び替え、最初の2項を$x^2$でくくり、$x^2(y+z)$とし、残りの2項を$y^2$でくくり、$y^2(z+y)$とします。

$x^2y + y^2z + x^2z + y^3 = x^2(y+z) + y^2(z+y) = x^2(y+z) + y^2(y+z) = (x^2 + y^2)(y+z)$

(5) $1 - x - x^2 + x^3$ を因数分解します。

最初の2項から$-1$をくくり、$-1(-1+x)$とし、残りの2項から$-x^2$をくくり、$-x^2(-1+x)$とします。

$(-1+x)$を共通因数としてくくります。

$1 - x - x^2 + x^3 = -1(-1+x) - x^2(-1+x) = (-1-x^2)(-1+x) = -(1+x^2)(x-1) = (1+x^2)(1-x)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-y)$

(2) $(x-y)(x+y)^2$

(3) $(x+1)(y+1)$

(4) $(x^2+y^2)(y+z)$

(5) $(1+x^2)(1-x)$