与えられた対数計算の問題を解きます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $2\log_3 441 - 9\log_3 \sqrt{7} - \frac{1}{6}\log_3 \frac{27}{343}$ を簡単にせよ。 (2) $(\log_{\frac{1}{9}} 4)(\log_9 25)(\log_5 \frac{1}{8})$ を計算せよ。 (3) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$ を計算せよ。 (4) $8^{\log_2 5}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた対数計算の問題を解きます。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $2\log_3 441 - 9\log_3 \sqrt{7} - \frac{1}{6}\log_3 \frac{27}{343}$ を簡単にせよ。

(2) $(\log_{\frac{1}{9}} 4)(\log_9 25)(\log_5 \frac{1}{8})$ を計算せよ。

(3) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$ を計算せよ。

(4) $8^{\log_2 5}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各項を整理します。

$441 = 21^2 = (3\cdot7)^2 = 3^2\cdot7^2$

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$

$343 = 7^3$

$27 = 3^3$

したがって、

$2\log_3 441 = 2\log_3 (3^2\cdot7^2) = 2(2 + 2\log_3 7) = 4 + 4\log_3 7$

$9\log_3 \sqrt{7} = 9\log_3 7^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}\log_3 7$

$\frac{1}{6}\log_3 \frac{27}{343} = \frac{1}{6}\log_3 \frac{3^3}{7^3} = \frac{1}{6}(3\log_3 3 - 3\log_3 7) = \frac{1}{6}(3 - 3\log_3 7) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log_3 7$

よって、

$2\log_3 441 - 9\log_3 \sqrt{7} - \frac{1}{6}\log_3 \frac{27}{343} = (4 + 4\log_3 7) - \frac{9}{2}\log_3 7 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log_3 7) = 4 - \frac{1}{2} + (4 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2})\log_3 7 = \frac{7}{2} + 0\cdot\log_3 7 = \frac{7}{2}$

(2)

$\log_{\frac{1}{9}} 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 \frac{1}{9}} = \frac{\log_3 2^2}{\log_3 3^{-2}} = \frac{2\log_3 2}{-2} = -\log_3 2$

$\log_9 25 = \frac{\log_3 25}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5^2}{\log_3 3^2} = \frac{2\log_3 5}{2} = \log_3 5$

$\log_5 \frac{1}{8} = \frac{\log_3 \frac{1}{8}}{\log_3 5} = \frac{\log_3 2^{-3}}{\log_3 5} = \frac{-3\log_3 2}{\log_3 5}$

したがって、

$(\log_{\frac{1}{9}} 4)(\log_9 25)(\log_5 \frac{1}{8}) = (-\log_3 2)(\log_3 5)(\frac{-3\log_3 2}{\log_3 5}) = 3(\log_3 2)^2$

(3)

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3^2}{\log_2 2^2} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_{16} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 16} = \frac{\log_2 3}{\log_2 2^4} = \frac{\log_2 3}{4}$

$\log_9 16 = \frac{\log_3 16}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2^4}{\log_3 3^2} = \frac{4\log_3 2}{2} = 2\log_3 2$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$

$(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8) = (\log_2 3 - \frac{1}{4}\log_2 3)(2\log_3 2 - 3\log_3 2) = \frac{3}{4}\log_2 3 (-\log_3 2) = -\frac{3}{4}\log_2 3 \log_3 2 = -\frac{3}{4} \frac{\log_3 3}{\log_3 2} \log_3 2 = -\frac{3}{4}$

(4)

$8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5} = 2^{3\log_2 5} = 2^{\log_2 5^3} = 5^3 = 125$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{2}$

(2) $3(\log_3 2)^2$

(3) $-\frac{3}{4}$

(4) $125$