$x$ に関する2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) を持つとき、以下の問いに答える。 (1) $m$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ に関する2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) を持つとき、以下の問いに答える。

(1) $m$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が正であることである。

$D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3) = m^2 - 4m^2 + 12 = -3m^2 + 12 > 0$

$-3m^2 > -12$

$m^2 < 4$

$-2 < m < 2$

(2) $\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ が成り立つ条件を考える。

$f(x) = x^2 - mx + m^2 - 3$ とする。

$\alpha < 0$ かつ $1 < \beta$ であるためには、$f(0) < 0$ かつ $f(1) < 0$ である必要がある。

$f(0) = 0^2 - m(0) + m^2 - 3 = m^2 - 3 < 0$

$m^2 < 3$

$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$

$f(1) = 1^2 - m(1) + m^2 - 3 = m^2 - m - 2 < 0$

$(m - 2)(m + 1) < 0$

$-1 < m < 2$

上記の3つの条件$-2 < m < 2$, $-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$, $-1 < m < 2$を全て満たす $m$ の範囲を求める。

$-2 < m < 2$ と $-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$ より、$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$となる。

$-\sqrt{3} \approx -1.732$、$\sqrt{3} \approx 1.732$ であるから、$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$ と $-1 < m < 2$ を同時に満たすのは $-1 < m < \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < m < 2$

(2) $-1 < m < \sqrt{3}$