地上から小球を秒速 $a$ m ($5 < a \le 30$) で真上に投げ上げたとき、投げ上げてから $x$ 秒後の地上からの高さを $y$ mとします。$y = -5x^2 + ax$ で表されるものとして、以下の問いに答えます。 (1) 真上に投げた小球が5秒後に地上に達するように、定数 $a$ の値を定めます。 (2) 小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後かを求めます。 (3) 小球を投げてから1秒以上4秒以下の範囲で、小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後かを求めます。

1. 問題の内容

地上から小球を秒速 $a$ m ($5 < a \le 30$) で真上に投げ上げたとき、投げ上げてから $x$ 秒後の地上からの高さを $y$ mとします。$y = -5x^2 + ax$ で表されるものとして、以下の問いに答えます。

(1) 真上に投げた小球が5秒後に地上に達するように、定数 $a$ の値を定めます。

(2) 小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後かを求めます。

(3) 小球を投げてから1秒以上4秒以下の範囲で、小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 小球が5秒後に地上に達するので、$x=5$ のとき $y=0$ となります。これを $y = -5x^2 + ax$ に代入すると、

$0 = -5(5^2) + a(5)$

$0 = -125 + 5a$

$5a = 125$

$a = 25$

(2) $a = 25$ なので、$y = -5x^2 + 25x$ です。この2次関数を平方完成します。

$y = -5(x^2 - 5x)$

$y = -5\left(x^2 - 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2\right)$

$y = -5\left(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}\right)$

$y = -5\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{125}{4}$

頂点は $\left(\frac{5}{2}, \frac{125}{4}\right)$ なので、小球の高さが最大となるのは、投げてから $\frac{5}{2}$ 秒後です。

(3) $y = -5x^2 + 25x$ で、$1 \le x \le 4$ の範囲での最大値を求めます。

$y = -5\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{125}{4}$ のグラフは上に凸の放物線で、軸は $x = \frac{5}{2} = 2.5$ です。

$1 \le x \le 4$ の範囲において、軸 $x = 2.5$ に最も近いのは、$x = 2$ または $x = 3$ で、$x=3$または$x=2$のどちらでも軸からの距離は0.5です。次に近いのは$x=1$と$x=4$で、どちらも軸からの距離は1.5です。

$x=2.5$は区間$1 \le x \le 4$に含まれるので、頂点で最大値を取ります。

$y(1) = -5(1)^2 + 25(1) = -5 + 25 = 20$

$y(4) = -5(4)^2 + 25(4) = -5(16) + 100 = -80 + 100 = 20$

軸$x=\frac{5}{2}$が区間内に存在するので、最大値は$x=\frac{5}{2}=2.5$のとき、$\frac{125}{4}=31.25$。

しかし、$x$ は整数値を取るとは限らないので、$1 \le x \le 4$ の範囲での最大値は、頂点での値$\frac{125}{4}=31.25$です。頂点のx座標である$x=2.5$は、区間$[1,4]$内に存在します。

したがって、小球の高さが最大となるのは、投げてから2.5秒後です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 25$

(2) $\frac{5}{2}$ 秒後

(3) $\frac{5}{2}$ 秒後