地上から小球を秒速 $am$ ($5 < a \le 30$) で真上に投げ上げたとき、投げ上げてから $x$ 秒後の地上からの高さを $y \ m$ とする。$y = -5x^2 + ax$ で表されるとき、以下の問いに答える。 (1) 真上に投げた小球が5秒後に地上に達するように定数 $a$ の値を定める。 (2) 小球の高さが最大になるのは、小球を投げてから何秒後か求める。 (3) 小球を投げてから1秒以上4秒以下の範囲で、小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後か求める。

1. 問題の内容

地上から小球を秒速 $am$ ($5 < a \le 30$) で真上に投げ上げたとき、投げ上げてから $x$ 秒後の地上からの高さを $y \ m$ とする。$y = -5x^2 + ax$ で表されるとき、以下の問いに答える。

(1) 真上に投げた小球が5秒後に地上に達するように定数 $a$ の値を定める。

(2) 小球の高さが最大になるのは、小球を投げてから何秒後か求める。

(3) 小球を投げてから1秒以上4秒以下の範囲で、小球の高さが最大となるのは、小球を投げてから何秒後か求める。

2. 解き方の手順

(1)

小球が5秒後に地上に達するということは、$x=5$ のとき $y=0$ となることを意味する。したがって、与えられた式に $x=5$、$y=0$ を代入して $a$ の値を求める。

$0 = -5(5)^2 + a(5)$

$0 = -125 + 5a$

$5a = 125$

$a = 25$

(2)

小球の高さが最大になるのは、$y = -5x^2 + ax$ の頂点の $x$ 座標を求めれば良い。平方完成を行う。

$y = -5(x^2 - \frac{a}{5}x)$

$y = -5(x^2 - \frac{a}{5}x + (\frac{a}{10})^2 - (\frac{a}{10})^2)$

$y = -5(x - \frac{a}{10})^2 + \frac{a^2}{20}$

したがって、頂点の $x$ 座標は $\frac{a}{10}$ となる。

(1)より、$a = 25$ なので、$\frac{a}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = 2.5$

よって、2.5秒後

(3)

(2)より、頂点の $x$ 座標は 2.5 である。

定義域は $1 \le x \le 4$ である。

$x = 2.5$ は $1 \le x \le 4$ の範囲に含まれるので、$x=2.5$ で最大値を取る。

したがって、2.5秒後

3. 最終的な答え

(1) $a=25$

(2) 2.5秒後

(3) 2.5秒後