画像に示された行列計算の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題セットがあります。 * A1.4.1: 行列の積を計算する。 * A1.4.2: 与えられた行列 A, B を用いて、和、差、スカラー倍、積、2乗などの演算を行う。 * A1.4.3: 行列を係数とする連立方程式を解く。 ここでは、A1.4.2の(1)から(12)までを解きます。 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。 (1) $A+B$ (2) $A-B$ (3) $2A+3B$ (4) $-A+2B$ (5) $AB$ (6) $BA$ (7) $A^2$ (8) $ABA$ (9) $(AB)^2$ (10) $A^2 - B^2$ (11) $(A-B)(A+B)$ (12) $(A+B)(A-B)$

はい、承知いたしました。行列計算の問題ですね。

1. 問題の内容

画像に示された行列計算の問題を解きます。具体的には、以下の3つの問題セットがあります。

* A1.4.1: 行列の積を計算する。

* A1.4.2: 与えられた行列 A, B を用いて、和、差、スカラー倍、積、2乗などの演算を行う。

* A1.4.3: 行列を係数とする連立方程式を解く。

ここでは、A1.4.2の(1)から(12)までを解きます。

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。

(1) $A+B$

(2) $A-B$

(3) $2A+3B$

(4) $-A+2B$

(5) $AB$

(6) $BA$

(7) $A^2$

(8) $ABA$

(9) $(AB)^2$

(10) $A^2 - B^2$

(11) $(A-B)(A+B)$

(12) $(A+B)(A-B)$

2. 解き方の手順

各計算は、行列の和、差、スカラー倍、積の定義に従って行います。

(1) $A+B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1+2 \\ 3-2 & -1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $A-B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-1) & 1-2 \\ 3-(-2) & -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $2A+3B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $-A+2B = -\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-1) + 1(-2) & 2(2) + 1(3) \\ 3(-1) + (-1)(-2) & 3(2) + (-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $BA = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1(2) + 2(3) & -1(1) + 2(-1) \\ -2(2) + 3(3) & -2(1) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $A^2 = AA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2) + 1(3) & 2(1) + 1(-1) \\ 3(2) + (-1)(3) & 3(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $ABA = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(2)+7(3) & -4(1)+7(-1) \\ -1(2)+3(3) & -1(1)+3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $(AB)^2 = (AB)(AB) = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4(-4)+7(-1) & -4(7)+7(3) \\ -1(-4)+3(-1) & -1(7)+3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1(-1) + 2(-2) & -1(2) + 2(3) \\ -2(-1) + 3(-2) & -2(2) + 3(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $(A-B)(A+B) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + (-1)(1) & 3(3) + (-1)(2) \\ 5(1) + (-4)(1) & 5(3) + (-4)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3) + 3(5) & 1(-1) + 3(-4) \\ 1(3) + 2(5) & 1(-1) + 2(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} -4 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & -5 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(8) $\begin{pmatrix} 13 & -11 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$

(9) $\begin{pmatrix} 9 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 7 & -1 \end{pmatrix}$

(11) $\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}$

(12) $\begin{pmatrix} 18 & -13 \\ 13 & -9 \end{pmatrix}$