次の3つの二次関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = x^2 - 2x$ (2) $y = -x^2 - 2x + 1$ (3) $y = -2x^2 - 3x + 1$

1. 問題の内容

次の3つの二次関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = x^2 - 2x$

(2) $y = -x^2 - 2x + 1$

(3) $y = -2x^2 - 3x + 1$

2. 解き方の手順

それぞれの二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。また、グラフの向き（上に凸か下に凸か）も確認します。

(1) $y = x^2 - 2x$

平方完成を行います。

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1$

$y = (x - 1)^2 - 1$

頂点は $(1, -1)$ で、グラフは下に凸です。

(2) $y = -x^2 - 2x + 1$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 2$

頂点は $(-1, 2)$ で、グラフは上に凸です。

(3) $y = -2x^2 - 3x + 1$

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 1$

$y = -2(x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 1$

$y = -2(x + \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) + 1$

$y = -2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + 1$

$y = -2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{17}{8}$

頂点は $(-\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ で、グラフは上に凸です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点 $(1, -1)$、下に凸の放物線。

(2) 頂点 $(-1, 2)$、上に凸の放物線。

(3) 頂点 $(-\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$、上に凸の放物線。