ベクトル $\vec{a} = (2, 4, 3)$, $\vec{b} = (9, -3, 1)$, $\vec{c} = (-4, 5, 2)$, $\vec{d} = (8, 13, 11)$ が与えられたとき、$\vec{d}$ を $\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ の形で表す。つまり、$p, q, r$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 4, 3)$, $\vec{b} = (9, -3, 1)$, $\vec{c} = (-4, 5, 2)$, $\vec{d} = (8, 13, 11)$ が与えられたとき、$\vec{d}$ を $\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ の形で表す。つまり、$p, q, r$ を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{d} = p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}$ を成分で書き出すと以下の連立方程式が得られる。

$2p + 9q - 4r = 8$

$4p - 3q + 5r = 13$

$3p + q + 2r = 11$

この連立方程式を解く。まず、3番目の式から $q$ を $q = 11 - 3p - 2r$ と表し、これを1番目と2番目の式に代入する。

$2p + 9(11 - 3p - 2r) - 4r = 8$

$4p - 3(11 - 3p - 2r) + 5r = 13$

整理すると

$2p + 99 - 27p - 18r - 4r = 8$

$4p - 33 + 9p + 6r + 5r = 13$

$-25p - 22r = -91$

$13p + 11r = 46$

2番目の式を2倍すると $26p + 22r = 92$ となる。

$-25p - 22r = -91$ と足し合わせると $p = 1$ が得られる。

$p = 1$ を $13p + 11r = 46$ に代入すると $13 + 11r = 46$ なので、$11r = 33$ より $r = 3$ が得られる。

$p = 1, r = 3$ を $q = 11 - 3p - 2r$ に代入すると $q = 11 - 3(1) - 2(3) = 11 - 3 - 6 = 2$ が得られる。

したがって、$p = 1, q = 2, r = 3$ である。

$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$

あるいは

$p = 1, q = 2, r = 3$