ベクトル $A = (2, 2, 1)$、ベクトル $B = (0.5, 0, 0.5)$ について、以下の問題を解きます。 (a) $A + B$ および $(B - A) \cdot A$ を求める。 (b) ベクトル $A$ と $B$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $A = (2, 2, 1)$、ベクトル $B = (0.5, 0, 0.5)$ について、以下の問題を解きます。

(a) $A + B$ および $(B - A) \cdot A$ を求める。

(b) ベクトル $A$ と $B$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(a)

まず、$A + B$ を計算します。ベクトルの足し算は、各成分ごとに足し合わせます。

$A + B = (2 + 0.5, 2 + 0, 1 + 0.5) = (2.5, 2, 1.5)$

次に、$B - A$ を計算します。ベクトルの引き算は、各成分ごとに引き算します。

$B - A = (0.5 - 2, 0 - 2, 0.5 - 1) = (-1.5, -2, -0.5)$

そして、$(B - A) \cdot A$ を計算します。ベクトルの内積は、対応する成分同士を掛け合わせて、それらを足し合わせます。

$(B - A) \cdot A = (-1.5 \times 2) + (-2 \times 2) + (-0.5 \times 1) = -3 - 4 - 0.5 = -7.5$

(b)

ベクトル $A$ と $B$ の内積 $A \cdot B$ は、対応する成分同士を掛け合わせて、それらを足し合わせます。

$A \cdot B = (2 \times 0.5) + (2 \times 0) + (1 \times 0.5) = 1 + 0 + 0.5 = 1.5$

ベクトル $A$ の大きさ $|A|$ は、各成分の二乗の和の平方根です。

$|A| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

ベクトル $B$ の大きさ $|B|$ は、各成分の二乗の和の平方根です。

$|B| = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ベクトル $A$ と $B$ のなす角 $\theta$ は、内積の定義から次の式で求められます。

$A \cdot B = |A| |B| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} = \frac{1.5}{3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1.5}{3 \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$ (ラジアン) または $45^\circ$ (度)。

3. 最終的な答え

(a)

$A + B = (2.5, 2, 1.5)$

$(B - A) \cdot A = -7.5$

(b)

$\theta = \frac{\pi}{4}$ (ラジアン) または $\theta = 45^\circ$ (度)