3つの対数に関する式をそれぞれ簡単にします。

## 357 次の式を簡単にせよ。

**(1) $\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6$**

**(2) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$**

**(3) $16^{\log_2 3}$**

1. 問題の内容

3つの対数に関する式をそれぞれ簡単にします。

2. 解き方の手順

**(1) $\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6$**

まず、各項を底を3とする対数に変換します。

$\sqrt{32} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$ なので、 $\log_3 \sqrt{32} = \log_3 2^{5/2} = \frac{5}{2}\log_3 2$

$\log_9 54 = \frac{\log_3 54}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3^3)}{2} = \frac{\log_3 2 + 3}{2} = \frac{1}{2}\log_3 2 + \frac{3}{2}$

$\log_{\sqrt{3}} 6 = \frac{\log_3 6}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3)}{1/2} = 2(\log_3 2 + 1) = 2\log_3 2 + 2$

よって、

$\log_3 \sqrt{32} + \log_9 54 - \log_{\sqrt{3}} 6 = \frac{5}{2}\log_3 2 + (\frac{1}{2}\log_3 2 + \frac{3}{2}) - (2\log_3 2 + 2) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 2)\log_3 2 + (\frac{3}{2} - 2) = \log_3 2 - \frac{1}{2}$

$= \log_3 2 - \log_3 \sqrt{3} = \log_3 \frac{2}{\sqrt{3}} = \log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}$

**(2) $(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8)$**

各項を底を2とする対数に変換します。

$\log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} = \frac{2\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_{16} 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 16} = \frac{\log_2 3}{4} = \frac{1}{4} \log_2 3$

$\log_9 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 9} = \frac{4}{2\log_2 3} = \frac{2}{\log_2 3}$

$\log_3 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 3} = \frac{3}{\log_2 3}$

よって、

$(\log_4 9 - \log_{16} 3)(\log_9 16 - \log_3 8) = (\log_2 3 - \frac{1}{4}\log_2 3)(\frac{2}{\log_2 3} - \frac{3}{\log_2 3}) = (\frac{3}{4}\log_2 3)(-\frac{1}{\log_2 3}) = -\frac{3}{4}$

**(3) $16^{\log_2 3}$**

$16^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3} = 2^{4\log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 2^{\log_2 81} = 81$

3. 最終的な答え

**(1) $\log_3 \frac{2\sqrt{3}}{3}$**

**(2) $-\frac{3}{4}$**

**(3) $81$**