問題は、次の2つの式の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求めることです。 (1) $(2x+1)^5$ (2) $(3x-2)^6$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの式の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求めることです。

(1) $(2x+1)^5$

(2) $(3x-2)^6$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+1)^5$ の展開式について考えます。二項定理より、

$(2x+1)^5 = \sum_{k=0}^5 {}_5C_k (2x)^k (1)^{5-k}$

$x^2$ の項は $k=2$ のときで、係数は

${}_5C_2 (2)^2 (1)^3 = \frac{5!}{2!3!} \times 4 \times 1 = \frac{5 \times 4}{2} \times 4 = 10 \times 4 = 40$

$x^3$ の項は $k=3$ のときで、係数は

${}_5C_3 (2)^3 (1)^2 = \frac{5!}{3!2!} \times 8 \times 1 = \frac{5 \times 4}{2} \times 8 = 10 \times 8 = 80$

(2) $(3x-2)^6$ の展開式について考えます。二項定理より、

$(3x-2)^6 = \sum_{k=0}^6 {}_6C_k (3x)^k (-2)^{6-k}$

$x^2$ の項は $k=2$ のときで、係数は

${}_6C_2 (3)^2 (-2)^4 = \frac{6!}{2!4!} \times 9 \times 16 = \frac{6 \times 5}{2} \times 9 \times 16 = 15 \times 9 \times 16 = 15 \times 144 = 2160$

$x^3$ の項は $k=3$ のときで、係数は

${}_6C_3 (3)^3 (-2)^3 = \frac{6!}{3!3!} \times 27 \times (-8) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 27 \times (-8) = 20 \times 27 \times (-8) = 20 \times (-216) = -4320$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)^5$ の展開式における $x^2$ の項の係数は 40, $x^3$ の項の係数は 80 です。

(2) $(3x-2)^6$ の展開式における $x^2$ の項の係数は 2160, $x^3$ の項の係数は -4320 です。