$a \neq 1$ の条件のもとで、次の2つの2次不等式について考える。 ① $x^2 + x - 6 < 0$ ② $x^2 - (a+3)x - 2a(a-3) > 0$ (1) 2次不等式②の解を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。 (2) ①と②を同時に満たす $x$ が存在しないような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a \neq 1$ の条件のもとで、次の2つの2次不等式について考える。

① $x^2 + x - 6 < 0$

② $x^2 - (a+3)x - 2a(a-3) > 0$

(1) 2次不等式②の解を、$a$ の範囲によって場合分けして求める。

(2) ①と②を同時に満たす $x$ が存在しないような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、不等式②を因数分解する。

$x^2 - (a+3)x - 2a(a-3) > 0$

$(x - 2a)(x + (a-3)) > 0$

この不等式の解は、$2a$ と $-(a-3) = 3-a$ の大小関係によって変わる。

(i) $2a > 3-a$ のとき、つまり $3a > 3$ より $a > 1$ のとき、

$x < 3-a$ または $2a < x$

(ii) $2a < 3-a$ のとき、つまり $3a < 3$ より $a < 1$ のとき、

$x < 2a$ または $3-a < x$

よって、$a > 1$ のとき $x < 3-a$、$2a < x$

$a < 1$ のとき $x < 2a$、$3-a < x$

(2) 次に、不等式①を解く。

$x^2 + x - 6 < 0$

$(x+3)(x-2) < 0$

$-3 < x < 2$

①と②を同時に満たす $x$ が存在しないのは、①の解 $-3 < x < 2$ と②の解が重ならない場合である。

(i) $a > 1$ のとき、②の解は $x < 3-a$ または $2a < x$

①と②を満たす $x$ が存在しないのは、

$3-a \le -3$ かつ $2 \le 2a$ のとき

$6 \le a$ かつ $1 \le a$

よって、$6 \le a$

(ii) $a < 1$ のとき、②の解は $x < 2a$ または $3-a < x$

①と②を満たす $x$ が存在しないのは、

$2a \le -3$ かつ $2 \le 3-a$ のとき

$a \le -\frac{3}{2}$ かつ $a \le 1$

よって、$a \le -\frac{3}{2}$

したがって、$a \le -\frac{3}{2}$ または $6 \le a$

3. 最終的な答え

(1)

ア：1

イ：3

ウ：-a

エ：2

(2)

オカ：3

キ：2

ク：6