与えられた画像に書かれた数学の問題を解きます。問題は以下の通りです。 (1) 49 の平方根を求めよ。 (2) $\sqrt{100}$ の値を求めよ。 (3) -5 の平方根を求めよ。 (4) $\sqrt{-4}$ の値を求めよ。 (5) 複素数 $1-3i$ の共役複素数を求めよ。 (6) 複素数 $3+\sqrt{7}i$ の絶対値を求めよ。 (7) $|4-15|-|-1-5|$ の値を求めよ。 (8) $x^2 - x - 2$, $(x-2)(x+1)^2$, $(x+1)(x-1)^2$ の最大公約数と最小公倍数を求めよ。 (9) $x^4 - 5x^2 + 4$ を因数分解せよ。 (10) $8x^2 - 14x - 15$ を因数分解せよ。 (11) $8a^3 + b^3$ を因数分解せよ。 (12) $4x^2 - 6y^2 - 5xy - x + 13y - 5$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた画像に書かれた数学の問題を解きます。問題は以下の通りです。

(1) 49 の平方根を求めよ。

(2) $\sqrt{100}$ の値を求めよ。

(3) -5 の平方根を求めよ。

(4) $\sqrt{-4}$ の値を求めよ。

(5) 複素数 $1-3i$ の共役複素数を求めよ。

(6) 複素数 $3+\sqrt{7}i$ の絶対値を求めよ。

(7) $|4-15|-|-1-5|$ の値を求めよ。

(8) $x^2 - x - 2$, $(x-2)(x+1)^2$, $(x+1)(x-1)^2$ の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

(9) $x^4 - 5x^2 + 4$ を因数分解せよ。

(10) $8x^2 - 14x - 15$ を因数分解せよ。

(11) $8a^3 + b^3$ を因数分解せよ。

(12) $4x^2 - 6y^2 - 5xy - x + 13y - 5$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) 49 の平方根は、2乗して 49 になる数です。$7^2 = 49$ であるので、答えは 7。

(2) $\sqrt{100}$ は、2乗して 100 になる正の数を意味します。$10^2 = 100$ であるので、答えは 10。

(3) -5 の平方根は、2乗して -5 になる数です。これは虚数単位 $i$ を用いて表されます。答えは $\pm \sqrt{5}i$。

(4) $\sqrt{-4}$ は、2乗して -4 になる数を意味します。これは虚数単位 $i$ を用いて表されます。$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \times -1} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2i$ であるので、答えは $2i$。

(5) 複素数 $1-3i$ の共役複素数は、虚部の符号を反転させたものです。つまり、$1 + 3i$。

(6) 複素数 $3 + \sqrt{7}i$ の絶対値は、$\sqrt{3^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4$。

(7) $|4 - 15| - |-1 - 5| = |-11| - |-6| = 11 - 6 = 5$。

(8) まず、与えられた多項式を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$(x-2)(x+1)^2$ はすでに因数分解されています。

$(x+1)(x-1)^2$ はすでに因数分解されています。

最大公約数は、すべての多項式に共通する因数のうち、次数の最も低いものです。この場合、$(x+1)$ がすべての多項式に含まれています。したがって、最大公約数は $x+1$。

最小公倍数は、すべての多項式に含まれる因数のうち、次数の最も高いものと、含まれていない因数の積です。この場合、$(x-2)$, $(x-1)$, $(x+1)$ が含まれています。$(x-2)$の最大次数は1, $(x-1)$の最大次数は2, $(x+1)$の最大次数は2です。

したがって、最小公倍数は $(x-2)(x+1)^2(x-1)^2$。

(9) $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4$。$X = x^2$ とおくと、$X^2 - 5X + 4 = (X-4)(X-1)$。よって、$(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$。

(10) $8x^2 - 14x - 15$ を因数分解します。$(4x+3)(2x-5)$。

(11) $8a^3 + b^3 = (2a)^3 + b^3$。和の3乗の公式 $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$ を用いると、$(2a+b)((2a)^2 - (2a)(b) + b^2) = (2a+b)(4a^2 - 2ab + b^2)$。

(12) $4x^2 - 6y^2 - 5xy - x + 13y - 5$ を因数分解します。これは少し複雑なので、試行錯誤が必要です。$(4x+3y-5)(x-2y+1)$。

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 10

(3) $\pm \sqrt{5}i$

(4) $2i$

(5) $1+3i$

(6) 4

(7) 5

(8) 最大公約数: $x+1$, 最小公倍数: $(x-2)(x+1)^2(x-1)^2$

(9) $(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$

(10) $(4x+3)(2x-5)$

(11) $(2a+b)(4a^2 - 2ab + b^2)$

(12) $(4x+3y-5)(x-2y+1)$