以下の3つの式の2重根号を外します。 (1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ (2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ (3) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$

はい、承知いたしました。2重根号を外す問題ですね。以下に解答を記載します。

1. 問題の内容

以下の3つの式の2重根号を外します。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

(3) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$

2. 解き方の手順

2重根号 $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ という公式、または $(x \pm y)^2 = x^2 + y^2 \pm 2xy$ という式を利用します。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

$8+2\sqrt{7}$ を $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ の形にすることを考えます。

$x^2+y^2 = 8$ かつ $xy = \sqrt{7}$ となる $x, y$ を探します。

$x = \sqrt{7}, y = 1$ とすると、$x^2 + y^2 = 7 + 1 = 8$ かつ $xy = \sqrt{7}$ となり条件を満たします。

したがって、$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$

(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}$

$11 - 2\sqrt{18}$ を $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy$ の形にすることを考えます。

$x^2+y^2 = 11$ かつ $xy = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ となる $x, y$ を探します。

$x = 3\sqrt{2}, y = \sqrt{1}$とすると、$x^2 + y^2 = 18 +1 = 19$ なので違う。

$x = 3, y = \sqrt{2}$ とすると、$x^2+y^2 = 9 + 2 = 11$ かつ $xy = 3\sqrt{2}$ となり条件を満たします。

したがって、$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = 3-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{5-\sqrt{21}}$

$\sqrt{5-\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{10-2\sqrt{21}}{2}} = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$

$10 - 2\sqrt{21}$ を $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy$ の形にすることを考えます。

$x^2+y^2 = 10$ かつ $xy = \sqrt{21}$ となる $x, y$ を探します。

$x = \sqrt{7}, y = \sqrt{3}$ とすると、$x^2 + y^2 = 7 + 3 = 10$ かつ $xy = \sqrt{21}$ となり条件を満たします。

したがって、$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{5-\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7}+1$

(2) $3-\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}$