$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$の整数の部分を$a$、小数部分を$b$とする。 (1) $a$と$b$の値を求める。 (2) $a + 6b + b^2 + 9$の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$の整数の部分を$a$、小数部分を$b$とする。

(1) $a$と$b$の値を求める。

(2) $a + 6b + b^2 + 9$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$を計算し、$a$と$b$を求める。

$\frac{1}{\sqrt{10} - 3}$の分母を有理化するために、分母の共役な複素数$\sqrt{10} + 3$を分母と分子にかける。

$$\frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} \cdot \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{10} + 3} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$$

ここで、$3 < \sqrt{10} < 4$であるから、$6 < \sqrt{10} + 3 < 7$となる。したがって、$\sqrt{10} + 3$の整数の部分は6であり、小数部分は$\sqrt{10} + 3 - 6 = \sqrt{10} - 3$である。

よって、$a = 6$, $b = \sqrt{10} - 3$

(2) 次に、$a + 6b + b^2 + 9$の値を計算する。

$a + 6b + b^2 + 9 = 6 + 6(\sqrt{10} - 3) + (\sqrt{10} - 3)^2 + 9$

$= 6 + 6\sqrt{10} - 18 + (10 - 6\sqrt{10} + 9) + 9$

$= 6 + 6\sqrt{10} - 18 + 19 - 6\sqrt{10} + 9$

$= 6 - 18 + 19 + 9 + 6\sqrt{10} - 6\sqrt{10}$

$= 16$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$, $b = \sqrt{10} - 3$

(2) $a + 6b + b^2 + 9 = 16$