2次関数 $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを、x軸、y軸、原点それぞれに関して対称移動させた後の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを、x軸、y軸、原点それぞれに関して対称移動させた後の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) x軸に関する対称移動

x軸に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に変わります。

したがって、与えられた方程式 $y = x^2 + 4x + 1$ の $y$ を $-y$ で置き換えます。

$-y = x^2 + 4x + 1$

両辺に $-1$ を掛けると、

$y = -x^2 - 4x - 1$

となります。

(2) y軸に関する対称移動

y軸に関して対称移動すると、$x$ が $-x$ に変わります。

したがって、与えられた方程式 $y = x^2 + 4x + 1$ の $x$ を $-x$ で置き換えます。

$y = (-x)^2 + 4(-x) + 1$

$y = x^2 - 4x + 1$

となります。

(3) 原点に関する対称移動

原点に関して対称移動すると、$x$ が $-x$ に、$y$ が $-y$ に変わります。

したがって、与えられた方程式 $y = x^2 + 4x + 1$ の $x$ を $-x$ で、$y$ を $-y$ で置き換えます。

$-y = (-x)^2 + 4(-x) + 1$

$-y = x^2 - 4x + 1$

両辺に $-1$ を掛けると、

$y = -x^2 + 4x - 1$

となります。

3. 最終的な答え

x軸に関する対称移動後の放物線の方程式： $y = -x^2 - 4x - 1$

y軸に関する対称移動後の放物線の方程式： $y = x^2 - 4x + 1$

原点に関する対称移動後の放物線の方程式： $y = -x^2 + 4x - 1$