不等式 $x^2 + x + 1 \geq 3x$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + x + 1 \geq 3x$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形します。

まず、右辺の $3x$ を左辺に移項します。

$x^2 + x + 1 - 3x \geq 0$

整理すると、

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$(x - 1)^2 \geq 0$

$(x-1)^2$ は実数の2乗なので、常に0以上です。したがって、不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + x + 1 \geq 3x$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは $x = 1$ のとき。