$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) + dx$

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1. 問題の内容

(1) 次の等式が $x$ についての恒等式となるように定数 $a, b, c, d$ を求めよ。

$\frac{2x^3 - 7x^2 + 11x - 16}{x(x-2)^3} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2} + \frac{d}{(x-2)^3}$

(2) $a, b, c$ を定数とする。$x, y, z$ が $x - 2y + z = 4$ および $2x + y - 3z = -7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成立する。このとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### (1)

1. 両辺に $x(x-2)^3$ を掛ける。

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = a(x-2)^3 + bx(x-2)^2 + cx(x-2) + dx$

2. $x=0$ を代入して $a$ を求める。

$-16 = a(-2)^3 = -8a$

$a = 2$

3. $x=2$ を代入して $d$ を求める。

$2(2)^3 - 7(2)^2 + 11(2) - 16 = 16 - 28 + 22 - 16 = -6 = 2d$

$d = -3$

4. 展開して整理する。

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + bx(x^2 - 4x + 4) + cx(x-2) - 3x$

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = 2x^3 - 12x^2 + 24x - 16 + bx^3 - 4bx^2 + 4bx + cx^2 - 2cx - 3x$

5. 同類項をまとめる。

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = (2+b)x^3 + (-12-4b+c)x^2 + (24+4b-2c-3)x - 16$

$2x^3 - 7x^2 + 11x - 16 = (2+b)x^3 + (-12-4b+c)x^2 + (21+4b-2c)x - 16$

6. 係数を比較して $b, c$ を求める。

- $x^3$ の係数: $2 = 2+b$ より $b = 0$

- $x^2$ の係数: $-7 = -12-4(0)+c$ より $c = 5$

### (2)

1. 与えられた式から $x$ と $y$ を $z$ で表す。

$x - 2y + z = 4$ ...(1)

$2x + y - 3z = -7$ ...(2)

(1)より、 $x = 2y - z + 4$ ...(3)

(2)に(3)を代入すると、

$2(2y - z + 4) + y - 3z = -7$

$4y - 2z + 8 + y - 3z = -7$

$5y - 5z = -15$

$y = z - 3$ ...(4)

(4)を(3)に代入すると、

$x = 2(z-3) - z + 4 = 2z - 6 - z + 4 = z - 2$ ...(5)

2. $x, y$ を $z$ で表した式を $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に代入する。

$a(z-2)^2 + 2b(z-3)^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z^2 - 4z + 4) + 2b(z^2 - 6z + 9) + 3cz^2 = 18$

$(a+2b+3c)z^2 + (-4a-12b)z + (4a+18b) = 18$

3. 恒等式であるから、係数比較を行う。

$z^2$ の係数: $a + 2b + 3c = 0$ ...(6)

$z$ の係数: $-4a - 12b = 0$ ...(7)

定数項: $4a + 18b = 18$ ...(8)

4. (7), (8) より $a, b$ を求める。

(7)より $a = -3b$

(8)に代入すると $4(-3b) + 18b = 18$

$-12b + 18b = 18$

$6b = 18$

$b = 3$

$a = -3(3) = -9$

5. $a, b$ を(6)に代入して $c$ を求める。

$-9 + 2(3) + 3c = 0$

$-9 + 6 + 3c = 0$

$-3 + 3c = 0$

$3c = 3$

$c = 1$

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3. 最終的な答え

(1)

$a = 2$

$b = 0$

$c = 5$

$d = -3$

(2)

$a = -9$

$b = 3$

$c = 1$