$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$という2次関数が与えられています。 (1) $y = f(x)$のグラフが点$(2, 5)$を通るときの$a$の値を求めます。 (2) $2 \le x \le 4$における$f(x)$の最小値を、$a$の値によって場合分けして求めます。 (3) $2 < x < 4$のすべての$x$に対して$f(x) > 0$となるような$a$の取りうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$という2次関数が与えられています。

(1) $y = f(x)$のグラフが点$(2, 5)$を通るときの$a$の値を求めます。

(2) $2 \le x \le 4$における$f(x)$の最小値を、$a$の値によって場合分けして求めます。

(3) $2 < x < 4$のすべての$x$に対して$f(x) > 0$となるような$a$の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1$のグラフが$(2, 5)$を通ることから、

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = 5$

$-4 + 8a + 1 = 5$

$8a = 8$

$a = 1$

(2)

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1 = -(x^2 - 4ax) + 1 = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 1$

軸は$x = 2a$です。区間$2 \le x \le 4$における$f(x)$の最小値を考えます。

(i) $2a < 2$、つまり$a < 1$のとき、区間内で$f(x)$は単調減少なので、最小値は$f(4)$です。

$f(4) = -4^2 + 4a(4) + 1 = -16 + 16a + 1 = 16a - 15$

(ii) $2 \le 2a \le 4$、つまり$1 \le a \le 2$のとき、区間内で軸を含むので、最小値は$f(2)$です。

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a - 3$

(iii) $2a > 4$、つまり$a > 2$のとき、区間内で$f(x)$は単調増加なので、最小値は$f(2)$です。

$f(2) = -2^2 + 4a(2) + 1 = -4 + 8a + 1 = 8a - 3$

よって、$a < 1$のとき、最小値は$16a - 15$

$1 \le a$のとき、最小値は$8a - 3$

(3)

$2 < x < 4$で$f(x) > 0$となるためには、

$f(2) \ge 0$かつ$f(4) \ge 0$であればよい。

$f(2) = -4 + 8a + 1 = 8a - 3 \ge 0$より、$8a \ge 3$、$a \ge \frac{3}{8}$

$f(4) = -16 + 16a + 1 = 16a - 15 \ge 0$より、$16a \ge 15$、$a \ge \frac{15}{16}$

$f(x) = -x^2 + 4ax + 1 > 0$を$x^2 - 4ax - 1 < 0$と変形し、$g(x) = x^2 - 4ax - 1$とすると、$g(2) < 0$かつ$g(4) < 0$である必要がある。

$g(2) = 4 - 8a - 1 = 3 - 8a < 0$より、$8a > 3$、$a > \frac{3}{8}$

$g(4) = 16 - 16a - 1 < 0$より、$16a > 15$、$a > \frac{15}{16}$

したがって、$a > \frac{15}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a < 1$のとき、最小値は$16a - 15$

$1 \le a$のとき、最小値は$8a - 3$

(3) $a > \frac{15}{16}$