$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 上の演算を「掛け算を4で割った余り」と定義し、その演算表を完成させること。また、$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \cdot)$ が群であるかどうかを判定し、群でない場合はその理由を述べること。

1. 問題の内容

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 上の演算を「掛け算を4で割った余り」と定義し、その演算表を完成させること。また、$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \cdot)$ が群であるかどうかを判定し、群でない場合はその理由を述べること。

2. 解き方の手順

(1) 演算表の完成

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, 3\}$ 上の演算 $\cdot$ は、通常の整数の掛け算を4で割った余りとして定義される。演算表の各マスに、対応する行と列の要素の積を4で割った余りを書き込む。

* 0との積は全て0になる。

* 1との積は元の数と同じになる。

* 2との積は以下のようになる: $2 \cdot 0 = 0$, $2 \cdot 1 = 2$, $2 \cdot 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}$, $2 \cdot 3 = 6 \equiv 2 \pmod{4}$.

* 3との積は以下のようになる: $3 \cdot 0 = 0$, $3 \cdot 1 = 3$, $3 \cdot 2 = 6 \equiv 2 \pmod{4}$, $3 \cdot 3 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$.

よって、演算表は以下のようになる。

| $\cdot$ | 0 | 1 | 2 | 3 |

|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |

| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 |

| 3 | 0 | 3 | 2 | 1 |

(2) 群の判定

$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \cdot)$ が群であるためには、以下の4つの条件を満たす必要がある。

* 結合律: 任意の $a, b, c \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ に対して、 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ が成り立つ。

* 単位元の存在: ある $e \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が存在して、任意の $a \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ に対して $a \cdot e = e \cdot a = a$ が成り立つ。

* 逆元の存在: 任意の $a \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ に対して、ある $a^{-1} \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が存在して $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ が成り立つ。

* 演算が閉じていること：任意の $a, b \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ に対して $a \cdot b \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が成り立つ。

上記の演算表から、単位元は 1 であることがわかる。しかし、0と2には逆元が存在しない。なぜなら、0と2に何を掛けても1にならないからである。

したがって、$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \cdot)$ は群ではない。

3. 最終的な答え

演算表：

| $\cdot$ | 0 | 1 | 2 | 3 |

|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |

| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 |

| 3 | 0 | 3 | 2 | 1 |

$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \cdot)$ は群ではない。理由は、0と2に逆元が存在しないため。