与えられた分数 $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)}$ を部分分数分解する問題です。つまり、定数 $A$ と $B$ を求めて、$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{5x+3}$ の形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)}$ を部分分数分解する問題です。つまり、定数 $A$ と $B$ を求めて、$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{5x+3}$ の形に変形します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式から、$A$ と $B$ に関する連立方程式を立てます。

$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{5x+3}$

両辺に $(3x+2)(5x+3)$ をかけると、

$x+1 = A(5x+3) + B(3x+2)$

$x+1 = 5Ax + 3A + 3Bx + 2B$

$x+1 = (5A + 3B)x + (3A + 2B)$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$5A + 3B = 1$

$3A + 2B = 1$

この連立方程式を解きます。

まず、2番目の式を3倍すると $9A + 6B = 3$ となります。

次に、1番目の式を2倍すると $10A + 6B = 2$ となります。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(10A + 6B) - (9A + 6B) = 2 - 3$

$A = -1$

$A=-1$ を $3A + 2B = 1$ に代入すると、

$3(-1) + 2B = 1$

$-3 + 2B = 1$

$2B = 4$

$B = 2$

したがって、$A = -1$ かつ $B = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x+1}{(3x+2)(5x+3)} = \frac{-1}{3x+2} + \frac{2}{5x+3}$