与えられた不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が常に成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が常に成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

この不等式が常に成り立つことを示すために、平方完成を利用します。まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$2x^2 - 4xy + 3y^2 \geq 0$

次に、$x$ について平方完成を行います。

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2 - y^2) + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 - 2y^2 + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$

ここで、$2(x - y)^2$ は実数の二乗の定数倍なので、常に0以上です。また、$y^2$ も実数の二乗なので、常に0以上です。したがって、これらの和は常に0以上となります。

3. 最終的な答え

$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$ が常に成り立つので、$2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ は常に成り立ちます。