複数の数学の問題が出題されています。それぞれの問題を個別に解答します。

1. 問題の内容

複数の数学の問題が出題されています。それぞれの問題を個別に解答します。

2. 解き方の手順

(2) 直線 $y = x + b$ が2点 $A(2, 1)$ と $B(-1, 4)$ を結ぶ線分ABを通る条件を求めます。

$A(2, 1)$ を通るとき、$1 = 2 + b$ より $b = -1$。

$B(-1, 4)$ を通るとき、$4 = -1 + b$ より $b = 5$。

線分AB上を通る条件は、$b$ が $-1$ 以上 $5$ 以下。

(3) 一次関数 $y = ax + 8$ ($a<0$) で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 11$ となる $a, b$ の値を求めます。

$a<0$ なので、$x = -1$ のとき $y = 11$、$x = 2$ のとき $y = b$。

$11 = a(-1) + 8$ より $-a = 3$, $a = -3$。

$b = (-3)(2) + 8 = -6 + 8 = 2$。

(4) 点 $(-3, 0)$ を通り、$y$ 軸に平行な直線の式は $x = -3$。

(5) 方程式 $3x - 5y = 5$ のグラフの $y$ 軸上の切片を求めます。

$x = 0$ のとき $-5y = 5$, $y = -1$。

(6) 連立方程式

$x + 2y = 6$

$4x - y = 6$

の解をグラフから求めます。

$4x+8y=24$

$4x-y=6$

$9y=18$

$y=2$

$x+2(2)=6$

$x=2$

グラフを描画し、交点を求めると、解は $(x, y) = (2, 2)$。

(7) 2直線 $y = 2x - 3$ と $y = -3x + 1$ の交点を求めます。

$2x - 3 = -3x + 1$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

$y = 2(\frac{4}{5}) - 3 = \frac{8}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{7}{5}$

交点は $(\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$。

(8) 方程式 $2x - y = 1$ と $x + y = 5$ のグラフの交点を通る、傾きが $\frac{1}{2}$ である直線の式を求めます。

$2x - y = 1$

$x + y = 5$

足し合わせると $3x = 6$, $x = 2$。

$y = 5 - x = 5 - 2 = 3$。

交点は $(2, 3)$。

傾き $\frac{1}{2}$ で $(2, 3)$ を通る直線は $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2)$。

$y = \frac{1}{2}x - 1 + 3 = \frac{1}{2}x + 2$。

(9) 直線 $l: y = x + 3$ 上に点Aをとり、Aからx軸に垂線ABをひき、ABを一辺とする正方形ABCDを$A$の$x$座標を$a$ (a>0) としたとき、$B, D$の座標を求めよ。

$A$の$x$座標を$a$とすると、$y$座標は$a+3$であるので、$A(a, a+3)$。

$B$の座標は$(a, 0)$。

$AB=a+3$。

$D$の座標は$(x_D, y_D)=(a+a+3, a+3)=(2a+3, a+3)$

(10) 四角形ABCDは正方形で、B,Cはx軸上の点である。点A(2,3)のとき、原点Oを通る直線lで台形OADCの面積が二等分されるとき、直線lの式を求める。

正方形の一辺の長さは3より、$D(5,3)$, $C(5,0)$, $B(2,0)$.

台形OADCの面積は、$\frac{1}{2}(OC+AD) \times CD = \frac{1}{2}(5+2) \times 3 = \frac{21}{2}$

台形OADCの面積を二等分する直線なので、面積は$\frac{21}{4}$。

直線lとDCの交点をE$(5,y)$とすると、三角形OCEの面積が$\frac{21}{4}$であれば良い。

$\frac{1}{2} \times OC \times y = \frac{1}{2} \times 5 \times y = \frac{21}{4}$

$y = \frac{21}{10}$

$E(5, \frac{21}{10})$

原点$(0,0)$と$E(5, \frac{21}{10})$を通る直線の式は$y=\frac{21/10}{5}x=\frac{21}{50}x$

3. 最終的な答え

(2) $-1 \le b \le 5$

(3) $a = -3, b = 2$

(4) $x = -3$

(5) $-1$

(6) $x = 2, y = 2$

(7) $(\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$

(8) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(9) Bの座標：$(a, 0)$、Dの座標：$(2a+3, a+3)$

(10) $y = \frac{21}{50}x$