与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 (1) $x^2 + x + 1 \geq 3x$ (2) $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

(1) $x^2 + x + 1 \geq 3x$

(2) $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$

2. 解き方の手順

(1)

不等式 $x^2 + x + 1 \geq 3x$ を変形します。

$x^2 + x + 1 - 3x \geq 0$

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^2 \geq 0$

$(x - 1)^2$ は常に0以上なので、不等式は常に成立します。

等号が成り立つのは、$x - 1 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ のときです。

(2)

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ を変形します。

$2x^2 - 4xy + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2) - 2y^2 + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2$ と $y^2$ はともに0以上なので、$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$ は常に成立します。

等号が成り立つのは、$2(x - y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。

$y = 0$ のとき $x - y = 0$ より $x = 0$ となります。

したがって、$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1)

不等式 $x^2 + x + 1 \geq 3x$ は常に成立します。

等号が成り立つのは $x = 1$ のときです。

(2)

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ は常に成立します。

等号が成り立つのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。