複素数 $z = a + bi$ (ただし、$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位) に対して、$z^2 = 4i$ が成り立つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = a + bi$ (ただし、$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位) に対して、$z^2 = 4i$ が成り立つとき、実数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$z = a + bi$ を $z^2 = 4i$ に代入すると、

$(a + bi)^2 = 4i$

$a^2 + 2abi + (bi)^2 = 4i$

$a^2 + 2abi - b^2 = 4i$

$(a^2 - b^2) + 2abi = 4i$

この複素数の等式が成り立つためには、実部と虚部がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の2つの式が得られます。

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = 4$

2番目の式から、$ab = 2$ が得られます。したがって、$b = \frac{2}{a}$ です。これを1番目の式に代入すると、

$a^2 - (\frac{2}{a})^2 = 0$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 0$

両辺に $a^2$ を掛けると、

$a^4 - 4 = 0$

$a^4 = 4$

$a^2 = 2$

$a = \pm \sqrt{2}$

$a = \sqrt{2}$ のとき、$b = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a = -\sqrt{2}$ のとき、$b = \frac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

したがって、$(a, b) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ または $(a, b) = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ です。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$

または

$a = -\sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$