$r > 0$とし、$a = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とおく。任意の角$\theta$に対し、複素数平面上で点$a + \frac{1}{a}$と実軸との距離は2以下である。$r$のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$r > 0$とし、$a = r(\cos\theta + i\sin\theta)$とおく。任意の角$\theta$に対し、複素数平面上で点$a + \frac{1}{a}$と実軸との距離は2以下である。$r$のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$a + \frac{1}{a} = r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)}$

$= r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

$= r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$

$= (r + \frac{1}{r})\cos\theta + i(r - \frac{1}{r})\sin\theta$

$a + \frac{1}{a}$と実軸との距離は、虚部の絶対値であるから

$| (r - \frac{1}{r}) \sin\theta | \leq 2$

任意の$\theta$に対してこれが成り立つ必要があるので、$|\sin\theta| = 1$の場合を考える。

$|r - \frac{1}{r}| \leq 2$

$r > 0$より、$r - \frac{1}{r} \leq |r - \frac{1}{r}|$なので、

$-2 \leq r - \frac{1}{r} \leq 2$

$r - \frac{1}{r} \leq 2$を解くと、$r^2 - 2r - 1 \leq 0$

解の公式より、$r = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} \leq r \leq 1 + \sqrt{2}$

$r > 0$より、$0 < r \leq 1 + \sqrt{2}$

$-2 \leq r - \frac{1}{r}$を解くと、$r^2 + 2r - 1 \geq 0$

解の公式より、$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$r \leq -1 - \sqrt{2}, r \geq -1 + \sqrt{2}$

$r > 0$より、$r \geq -1 + \sqrt{2}$

したがって、$-1 + \sqrt{2} \leq r \leq 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-1 + \sqrt{2} \leq r \leq 1 + \sqrt{2}$