はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

$x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3y+xy^3$

(5) $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ を展開せよ

(6) $x^3+y^3$

(7) $x^4+y^4$

(8) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$ を因数分解せよ。

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2. 解き方の手順**

(1) $x+y$

$x+y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(2) $xy$

$xy = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(3) $x^2+y^2$

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6$

(4) $x^3y+xy^3$

$x^3y+xy^3 = xy(x^2+y^2) = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

(5) $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ の展開

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$

(6) $x^3+y^3$

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (\sqrt{7})^3 - 3 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{7} = 7\sqrt{7} - \frac{3}{2}\sqrt{7} = \frac{14\sqrt{7}-3\sqrt{7}}{2} = \frac{11\sqrt{7}}{2}$

(7) $x^4+y^4$

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 6^2 - 2 \times (\frac{1}{2})^2 = 36 - 2 \times \frac{1}{4} = 36 - \frac{1}{2} = \frac{72-1}{2} = \frac{71}{2}$

(8) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3 = 4x^2(y-z) - y^2(y-z) = (4x^2 - y^2)(y-z) = (2x+y)(2x-y)(y-z)$

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3. 最終的な答え**

(1) $\sqrt{7}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $6$

(4) $3$

(5) $x^3+y^3$

(6) $\frac{11\sqrt{7}}{2}$

(7) $\frac{71}{2}$

(8) $(2x+y)(2x-y)(y-z)$