与えられた2x2行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 4 & 9 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2x2行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 4 & 9 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2x2行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は、行列式 $det(A) = ad - bc$ が0でなければ存在し、$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ で与えられます。

まず、与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 4 & 9 \end{bmatrix}$ の行列式を計算します。

$det(A) = (4)(9) - (6)(4) = 36 - 24 = 12$

行列式は0ではないので、逆行列が存在します。

逆行列 $A^{-1}$ は次のようになります。

$A^{-1} = \frac{1}{12} \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ -4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{9}{12} & \frac{-6}{12} \\ \frac{-4}{12} & \frac{4}{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$