はい、了解いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。

はい、了解いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。

**

1. 問題の内容**

問題は全部で6問あります。

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$ を $x$ の多項式で表す。

2. 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$ を解く。

3. $x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$, $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求める。

(1) $x+y$, $xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

(4) $x^3 + y^3$

4. $x+y+z=3$, $xy+yz+zx = -5$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ の値を求める。

5. $\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

(1) $a$, $b$ の値を求める。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求める。

6. $a$ を正の定数とする。不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

**

2. 解き方の手順**

1. $\sqrt{x^2 - 10x + 25} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$

$\sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = |x-5| + |x+2|$

$x$ の範囲が不明なので絶対値を外せない。画像には $x>5$のときだけ、$x-5+x+2 = 2x-3$ と書いてあるが、誤りである。

もし、$x \geq 5$なら $|x-5| + |x+2| = x-5+x+2 = 2x-3$。

$-2 \leq x < 5$なら $|x-5| + |x+2| = 5-x+x+2 = 7$

$x < -2$なら $|x-5| + |x+2| = 5-x-x-2 = -2x+3$

2. 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$

(1) $(\sqrt{3}-2)x < -1$ より、$\sqrt{3}-2 < 0$ なので、

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2} = \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-\sqrt{3}-2}{3-4} = 2+\sqrt{3}$

(2) $|1-x| \ge 3$ より、

$1-x \ge 3$ または $1-x \le -3$

$x \le -2$ または $x \ge 4$

よって、求める解は $x \ge 4$

3. $x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$, $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

(1) $x+y = \frac{(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5 + 9 - 6\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{28}{4} = 7$

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = 1$

(2) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

(4) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 7(7^2 - 3(1)) = 7(49-3) = 7(46) = 322$

4. $x+y+z=3$, $xy+yz+zx = -5$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$

$3^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-5)$

$9 = x^2 + y^2 + z^2 - 10$

$x^2 + y^2 + z^2 = 19$

5. $\sqrt{12} - \sqrt{108}$

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、 $-4\sqrt{3} \approx -4(1.732) = -6.928$

整数部分 $a = -7$

小数部分 $b = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = (b+\frac{1}{b})^3 - 3(b+\frac{1}{b})$

$b = 7 - 4\sqrt{3}$, $\frac{1}{b} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-16(3)} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$

$b + \frac{1}{b} = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 14$

$b^3 + \frac{1}{b^3} = (14)^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

6. $|x-2| < a$

$-a < x-2 < a$

$2-a < x < 2+a$

この範囲に整数が5個存在するためには、

$2-a = -1.5, 2+a = 5.5$

$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$の7個なので間違え。

5個の整数解を持つためには、区間の長さ$2a$について、$4 < 2a \leq 6$,

$2 < a \leq 3$

**

3. 最終的な答え**

1. $x \geq 5$なら $2x-3$、 $-2 \leq x < 5$なら $7$、$x < -2$なら $-2x+3$

2. $x \ge 4$

3. (1) $x+y = 7$, $xy = 1$

(2) $x^2 + y^2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$

(4) $x^3 + y^3 = 322$

4. $x^2 + y^2 + z^2 = 19$

5. (1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$

6. $2 < a \leq 3$