$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$, $xy$

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$, $xy$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9-5} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

次に、$x+y$を計算します。

$x+y = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} + \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{7+3\sqrt{5} + 7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

次に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = 1$

3. 最終的な答え

$x+y = 7$

$xy = 1$