関数 $y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ であるとき、$y$ の変域は $0 \le y \le 16$ である。このとき、$a$ の値として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

## 回答

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ について、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ であるとき、$y$ の変域は $0 \le y \le 16$ である。このとき、$a$ の値として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = ax^2$ のグラフは、原点を頂点とする放物線です。$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ であり、$y$ の変域が $0 \le y \le 16$ であることから、$a$ は正の数であることがわかります。なぜなら、$a$ が負の数である場合、$y$ の最大値は $x=0$ のときの $y=0$ となり、題意に矛盾するためです。

$x$ の変域に $x=0$ が含まれており、$y$ の最小値が $0$ であることから、放物線の頂点が原点にあることがわかります。

$y$ の最大値が $16$ であることから、$x$ が $-4$ または $2$ のとき、$y = 16$ になるはずです。

- $x = -4$ のとき、$y = a(-4)^2 = 16a$

- $x = 2$ のとき、$y = a(2)^2 = 4a$

$y$ の最大値が $16$ なので、$16a = 16$ または $4a = 16$ が成り立ちます。

$16a = 16$ より、$a = 1$

$4a = 16$ より、$a = 4$

$y$ の最大値が $16$ なので、それぞれの $a$ の値について確認します。

$a = 1$ のとき、$x = -4$ なら $y = 16$, $x = 2$ なら $y = 4$ となり、最大値は $16$ なので、この $a$ の値は適切です。

$a = 4$ のとき、$x = -4$ なら $y = 64$, $x = 2$ なら $y = 16$ となり、最大値が $64$ となってしまうため、$a = 4$ は不適です。

したがって、$a=1$ です。

3. 最終的な答え

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