与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。次に、定義域における関数の増減を調べ、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$

平方完成すると $y = (x + 1)^2 + 2$ となります。頂点は $(-1, 2)$ で、下に凸なグラフです。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、

$x = -1$ のとき最小値 $2$

$x = 2$ のとき最大値 $y = 2^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$

平方完成すると $y = -(x - 2)^2 + 1$ となります。頂点は $(2, 1)$ で、上に凸なグラフです。

定義域 $0 \le x \le 3$ において、

$x = 2$ のとき最大値 $1$

$x = 0$ のとき最小値 $y = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$

平方完成すると $y = 3(x + 1)^2 - 4$ となります。頂点は $(-1, -4)$ で、下に凸なグラフです。

定義域 $1 \le x \le 3$ において、

$x = 1$ のとき最小値 $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき最大値 $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

(4) $y = -2x^2 + 12x$

平方完成すると $y = -2(x - 3)^2 + 18$ となります。頂点は $(3, 18)$ で、上に凸なグラフです。

定義域 $0 \le x \le 6$ において、

$x = 3$ のとき最大値 $18$

$x = 0$ または $x = 6$ のとき最小値 $0$

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $11$ ($x = 2$ のとき), 最小値 $2$ ($x = -1$ のとき)

(2) 最大値 $1$ ($x = 2$ のとき), 最小値 $-3$ ($x = 0$ のとき)

(3) 最大値 $44$ ($x = 3$ のとき), 最小値 $8$ ($x = 1$ のとき)

(4) 最大値 $18$ ($x = 3$ のとき), 最小値 $0$ ($x = 0$ または $x = 6$ のとき)