$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta\cos\theta - 2\sin\theta - 2\cos\theta - 3$ について、 $x = \sin\theta + \cos\theta$ とおき、$x^2$ や $y$ を $x$ で表したり、$x$ の取りうる値の範囲や $y$ の最大値・最小値を求めたりする問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta\cos\theta - 2\sin\theta - 2\cos\theta - 3$ について、

$x = \sin\theta + \cos\theta$ とおき、$x^2$ や $y$ を $x$ で表したり、$x$ の取りうる値の範囲や $y$ の最大値・最小値を求めたりする問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta + \cos\theta$ とおくと、

$x^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

よって、$2\sin\theta\cos\theta = x^2 - 1$ となります。

したがって、ア = 1, イ = 1です。

次に、$y$ を $x$ で表します。

$y = 2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta + \cos\theta) - 3 = (x^2 - 1) - 2x - 3 = x^2 - 2x - 4$

よって、$y = x^2 - 2x - 4$ であり、ウ = 2, エ = 2, オ = 4 です。

次に、$x$ の取りうる値の範囲を求めます。

$x = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{4}\cos\theta) = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

ここで、$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ なので、 $-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

したがって、$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ となります。

よって、カ = 2, キ = 4, ク = 2, ケ = 2です。

次に、$y = x^2 - 2x - 4 = (x - 1)^2 - 5$

$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ より、$x = 1$ のとき最小値 $y = -5$ をとります。

また、$x = -\sqrt{2}$ のとき最大値 $y = (-\sqrt{2} - 1)^2 - 5 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 5 = -2 + 2\sqrt{2}$ をとります。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ なので、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ です。

よって、サ = 5, コ = 4, シ = 2, ス = 2, セ = 2, ソタ = 5となります。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 1

ウ = 2

エ = 2

オ = 4

カ = 2

キ = 4

ク = 2

ケ = 2

サ = 5

コ = 4

シ = 2

ス = 2

セ = 2

ソタ = 5