$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} + \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

通分すると、

$x+y = \frac{(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$

分子を展開します。

$(3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

$(3-\sqrt{5})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$

分母を計算します。

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

したがって、

$x+y = \frac{(14+6\sqrt{5}) + (14-6\sqrt{5})}{4} = \frac{28}{4} = 7$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

$xy = 1$

3. 最終的な答え

$x+y = 7$

$xy = 1$