$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、 (5) $x^4 + y^4$ (6) $x^5 + y^5$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、 $y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、

(5) $x^4 + y^4$

(6) $x^5 + y^5$

をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9+6\sqrt{5}+5}{9-5} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9-6\sqrt{5}+5}{9-5} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

$x+y = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} + \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$xy = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(5) $x^4 + y^4$ を求める。

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ より、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 7^2 - 2(1) = 49 - 2 = 47$

$(x^2+y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2x^2y^2$ より、$x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2 = (47)^2 - 2(1)^2 = 2209 - 2 = 2207$

(6) $x^5 + y^5$ を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)(x^2+y^2-xy) = 7(47-1) = 7(46) = 322$

$x^5 + y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = 47(322) - 1^2(7) = 15134 - 7 = 15127$

3. 最終的な答え

(5) $x^4 + y^4 = 2207$

(6) $x^5 + y^5 = 15127$