次の2次関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。 (1) $y = x^2 - 6x + 5$ (2) $y = -2x^2 + 5x$

## 回答

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

(2) $y = -2x^2 + 5x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ を平方完成します。

$y = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

$x = 3$ のとき、最小値 $-4$ をとります。上に凸の放物線なので、最大値はありません。

(2) $y = -2x^2 + 5x$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) = -2(x - \frac{5}{4})^2 + 2(\frac{25}{16}) = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8}$

$x = \frac{5}{4}$ のとき、最大値 $\frac{25}{8}$ をとります。下に凸の放物線なので、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $-4$ ($x = 3$のとき)、最大値なし

(2) 最大値 $\frac{25}{8}$ ($x = \frac{5}{4}$のとき)、最小値なし